MUSIQUE ET MATHÉMATIQUES – 1 – L’HARMONIE : LES ACCORDS ET LES GAMMES

Dans l’antiquité, à l’époque de Pythagore, la musique était une branche des mathématiques. Et la musique était harmonieuse parce qu’elle était mathématique !

Pythagore semble être le premier à avoir théorisé le rapport entre la longueur d’une corde que l’on fait vibrer, et la hauteur du son qu’elle émet en vibrant, sa fréquence. Pour étudier ce phénomène, les pythagoriciens ont inventé un instrument, le monocorde, soit une boîte (de résonance) et une corde dont on pouvait faire varier la longueur tout en la pinçant.

Et là, banco ! si on appuie sur le milieu de la corde, on obtient un son plus aigu, mais étrangement harmonieux par rapport au son d’origine. Normal, on joue l’octave, soit une note qui vibre exactement au double de la fréquence originale. Vous pouvez faire l’expérience vous-même si vous avez une guitare, mais un simple élastique tendu entre deux points peut aussi faire l’affaire.

Si vous fixez votre point au quart de la corde, vous obtiendrez encore une note plus aiguë, l’octave de l’octave, soit une note qui vibre quatre fois plus vite que l’originale.

Jusqu’ici, j’ai résonné, avec les pythagoriciens, comme si la note vibrait avec une fréquence pure, une fréquence unique (par exemple, dans notre système musical actuel, la convention que le la des musiciens soit fixé à 440 hertz. Mais dans la nature, les choses sont plus compliquées, et un corps qui vibre le fait avec sa fréquence propre, dite fondamentale, mais aussi avec plein de fréquences supplémentaires, telles que la tierce ou la quinte.

La tierce (majeure) est la note qui vibre avec un rapport de 5/4 par rapport à la fondamentale. La quinte est une note qui vibre avec un rapport de 3/2 par rapport à la fondamentale. On la trouve très facilement en appuyant notre corde ou notre élastique au 2/3 de sa longueur.

En jouant la fondamentale, la tierce majeure et la quinte, on obtient un accord dit parfait. Comme il est naturellement présent dans tous les corps vibrants, nos oreilles sont habituées à l’entendre, même si on n’a aucune connaissance de la musique. On l’entend partout dans la nature, et donc, il nous semble naturel. Beaucoup de musiques, savantes ou populaires, sont bâties sur un tel accord.

Pythagore et ses élèves avaient également trouvé la quarte, soit la note que l’on obtient en appuyant au 3/4 de notre corde vibrante. À partir de ces notes de base, et avec l’aide du calcul des rapports (rappelons que Pythagore était un des plus grands mathématiciens de son époque), ils ont déduit la gamme, constituée de douze notes permettant d’aller d’une fondamentale à son octave. Ainsi, dans la notation musicale telle qu’on l’apprend à l’école, on arrive à cette gamme en do majeur, composée de 6 tons, ou douze 1/2 tons.

(ici : do – ré = un ton, ré -mi = un ton, mi – fa = 1/2 ton, fa – sol = un ton, sol – la = un ton, la – si = un ton et si – do = 1/2 ton).

Les choses évoluèrent peu pendant plusieurs siècles, et il faudra que Descartes se penche sur le problème des résonances et de l’harmonie dans son Musicae compendium. Ce livre inspirera Rameau qui achèvera de théoriser les rapports entre la fréquence fondamentaloe d’une corde qui vibre et ses différents harmoniques dans son Traité de l’Harmonie réduite à ses principes naturels. Il y écrit « La musique est une science physico-mathématique; le son en est l’objet et les rapports trouvés entre différents sons en sont l’objet mathématique. Sa fin est de plaire et d’exciter en nous diverses passions. »

Je vous disais plus haut qu’on trouvait ces accords et ces harmonies parfaites dans beaucoup d’œuvres. Je vous propose ici le motet de J.-S. Bach Lobet den Herrn, alle Heiden, qui commence par une belle montée « fondamentale, tierce, quinte, octave » sur o-o-o-o (avant de se compliquer un peu) !

Le triton, ou diabolus in musica, est composé de trois tons entiers. Il a longtemps été interdit, car étant la musique du diable. Bien entendu, ce tabou a disparu avec le temps et on trouve un très bel exemple de triton dans l’air « Maria » de West Side Story de Bernstein.

Les accords « de base » ont été pendant des siècles les seuls recommandés pour l’écriture de la musique, mais au fil du temps, et l’oreille des musiciens s’accoutumant à ces accords, les plus audacieux des compositeurs se sont lancés dans leurs œuvres sur des accords auparavant interdits, car jugés trop dissonants. Il semblerait que ce soit Liszt qui ce soit le premier débarrassé du corset de la tonalité, dans sa bagatelle appelée, justement, « sans tonalité », c’est-à-dire qu’il n’y a plus dans cette œuvre de note de référence, de fondamentale, sur laquelle toutes les autres notes s’appuient. Vingt ans après Liszt, le Viennois Arnold Schönberg théorisera cette égalité entre les douze sons de la gamme, en créant le dodécaphonisme (dodéca = 12).

(Source : même si cela fait longtemps que j’ai envie d’écrire sur ce thème Musique et mathématiques, je dois mentionner ici la série de podcasts que France Musique diffuse cet été.)

Retrouvez ici le deuxième article sur les mathématiques et la musique, consacré à la mesure et à la décomposition du temps.